Analizaremos dos objetos fractales de dimensión fractal con valor fraccionario: la Curva de von Koch y  el Triángulo de Sierpinski,

Vemos que la dimensión de Hausdorff- Besicovitch en el caso de la curva de Koch es 1, 262. Por tanto, es mayor que su dimensión topológica, que en el caso de una línea es 1 y además, tiene valor fraccionario. Cumple por tanto todos los requisitos para clasificarla como fractal, de acuerdo con la definición de Benoit B. Mandelbrot :“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”.

En el caso del triángulo de Sierpinski nos encontramos que el valor de la dimensión de Hausdorff- Besicovitch es 1,585. Es un valor fraccionario, pero menor que su dimensión topológica, que al ser un polígono es 2, por tanto, no cumpliría estrictamente la condición de la definición de Mandelbrot, aunque el triángulo de  Sierpinski es uno de los fractales mas conocidos. Nos encontramos ante una de las excepciones ( otras son el polvo de Cantor y la curva de Peano, que se incluyen en el apartado de fractales clásicos dentro de esta web), ya que como señalábamos la definición de fractal es compleja y controvertida y este concepto no es definitivo, hasta el mismo Mandelbrot reconoce que no incluye algunos conjuntos que, por otras razones, deben incluirse en la categoría de fractales, como es este caso.

Finalmente un aspecto importante a destacar: la dimisión fractal  es independiente de la escala de medición (1, 2, 3,..., n). En  la dimensión de la Curva de Von Koch, se obtiene el mismo resultado 1,26185..., independientemente del nivel de iteración:

Esto es justamente lo que planteaba Mandelbrot, buscar un método que permita medir un objeto fractal, independiente de la escala con el que se observara.