La dimensión topológica es fácil de comprender ya que nos habla de la conectividad de los puntos del objeto de medida. En los Elementos de Euclides, ya se define, implícitamente y de forma inductiva, el concepto de dimensión topológica euclidiana. Se dice que una figura es unidimensional, si su frontera está compuesta de puntos; bidimensional, si su frontera está compuesta de curvas y tridimensional, si su frontera está compuesta de superficies.

Profundizando un poco más y desde un punto de vista topológico sabemos que la circunferencia y un segmento rectilíneo son la misma curva y encierran el mismo tipo de superficie (pues es posible transformar una en la otra mediante una deformación continua, ahora bien, desde un punto de vista métrico no son la misma curva, ya que la circunferencia y el área que encierra, el círculo, son finitos, y, en cambio, el segmento, aunque es finito, no encierra con su borde un área finita. Aparece aquí, entonces, una característica moderna de las matemáticas: intentar clasificar los objetos por lo que se conserva, por los invariantes, y analizar, por otra parte, qué ocurre con lo que no se conserva, cómo hay que analizarlo, qué hay que hacer con ello, cómo integrarlo en el mundo de los entes matemáticos. En el ejemplo anterior, lo que se conserva es su carácter topológico, es decir, su dimensión topológica.

Señalaremos finalmente que el propio concepto dimensión tiene un significado matemático muy amplio, y por lo tanto se ofrecen un amplio repertorio de definiciones. Entre ellas existe siempre la noción de recubrimiento del objeto estudiado, por otra forma matemática cuyo diámetro tiende a cero.  Si tenemos en cuenta la definición inductiva de dimensión topológica dada por Poincaré (" un objeto tiene dimensión topológica "m" cuando cualquier recubrimiento de ese objeto, tiene dimensión topológica "m"),  debemos añadir que el conjunto vacío tiene dimensión –1.

Una definición distinta de dimensión topológica es la definición por semejanza, llamada también de autosemejanza, que sugirió Felix Hausdorff en 1919, readaptada posteriormente por Besicovich (dimensión de Hausdorff-Besicovich) y que se recoge en la definición de fractal que propone Benoit B. Mandelbrot.

Dimensión fractal

1

2

El concepto de dimensión en los fractales como consecuencia de la recursividad o autosimilitud a cualquier escala que poseen es algo muy complejo. Los fractales están compuestos por elementos cada vez más pequeños de sí mismos que se replican indefinidamente a menor escala, generándose una figura que tiene una superficie finita con un perímetro de longitud infinita y con un número infinito de vértices. En el lenguaje matemático del cálculo, diríamos que esta curva no se puede diferenciar.

Por ello, el concepto de dimensión juega un papel fundamental en la geometría fractal. Pero el dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a los conceptos tradicionales de la dimensión euclidiana  o dimensión topológica. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un número entero. La dimensión fractal, se puede definir de diferentes maneras, siendo la más rigurosa la de Hausdorf y la más intuitiva y más fácil de aplicar es la de semejanza. Antes de definirla se debe señalar dos aspectos importantes relativos a la escala de medición y su relación con la expresión del tamaño y con la dimensión topológica para destacar que: 

La dimensión definida por Felix Hausdorff en 1919, y perfeccionada más tarde por Besicovitch  esta recogida en la definición de fractal que propone Benoit B. Mandelbrot :“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica”.

De una forma intuitiva la dimensión Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el número de conjuntos de longitud L que hacen falta para cubrir X por L. Esta dimensión se representa por la siguiente fórmula:

S = L^D

^{Donde S es el tamaño del fractal, L la escala de medición D es la dimensión fractal que buscamos. Operamos para despejar D:}

 ^{log S = D log L  ------->    D =  log S / log L}

Como veremos la dimensión de homotecia Hausdorff- Besicovitch, es una generalización de la dimensión euclidiana, que con carácter general, tiene valores enteros e iguales a la dimensión topológica para las líneas, polígonos y  sólidos y valores fraccionarios y superiores a su dimensión topológica en los fractales.

 Analizaremos algunos ejemplos de:

Curva de Peano