En
1.904 Niels Helge von Koch (1870-1924) define la curva que lleva su nombre.
Se forma partiendo de un segmento el cual es dividido en tres partes
iguales. La parte central se sustituye por dos segmentos del mismo tamaño
que el eliminado. Sucesivamente se repite el mismo proceso por cada segmento
formado. La longitud de esta curva evoluciona de acuerdo a la siguiente
sucesión: 1, 4/3, 16/9, 64/27, 256/81.... Dado que la sucesión anteriormente
indicada no converge hacia ningún valor, estamos ante una curva de longitud
infinita.
Veamos la
dimensión de Hausdorff- Besicovitch para la curva de Koch.
Recordemos que esta dimensión se
representa por la siguiente fórmula:
D = log S / log L
Donde S es
el tamaño del Fractal y L la escala de medición y D es la
dimensión fractal que buscamos. En el caso de la curva de Koch S = 4 y
L= 1/3 y por tanto:
D = log4/log(1/3) = log4/log3 =1,262
Por tanto, es
mayor que su dimensión topológica, que en el caso de una línea es 1 y
además, tiene valor fraccionario. Cumple por tanto todos los requisitos para
clasificarla como fractal, de acuerdo con la definición de Benoît B.
Mandelbrot
La versión que introdujo Von Koch en 1904 fue la denominada isla de Koch
(también se denomina copo de nieve)
cuya construcción comienza con un triángulo equilátero, aplicando luego a
cada uno de sus lados un algoritmo análogo al descrito para la curva.
Isla o copo de nieve de Koch
