El conjunto de Cantor probablemente sea el fractal documentado
más antiguo (1872?). El polvo de Cantor es históricamente el primer objeto fractal
puro. Fue descrito por el matemático alemán Georg
Ferdinand Ludwig Philipp Cantor alrededor de 1872
(recordemos que Cantor fue el inventor de la teoría de los conjuntos). Su
dimensión
Hausdorff - Besicovitch
es
D=log(2)/log(3)~= 0,6309297.
Este fractal es una de las excepciones (junto con el triángulo de Sierpindki y
la curva de Peano) a la definición de Mandelbrot ya que la dimensión Hausdorff -
Besicovitch es menor que la dimensión topológica, que en una recta es 1 .
El polvo de Cantor se inicia con un segmento lineal conocido como el iniciador.
Este se divide en tres segmentos menores de la misma longitud, el central de los
cuales se extrae y se elimina. Este proceso (denominado, usualmente, como el
generador) se repite indefinidamente, y al final se habrá producido el
polvo de
Cantor (puntos que no tienen tamaño, por lo que se le asigna una dimensión nula o
de cero)
Iteración del polvo de Cantor.
El interés de
Cantor por este conjunto ha de inscribirse en el debate sobre los
fundamentos de la matemática en el siglo XIX. En concreto sobre el concepto
de número. Cantor presentó su monstruo a la comunidad matemática. Había
creado un conjunto de números del intervalo [0,1] de medida cero (al lanzar
un "dardo matemático" al intervalo, la probabilidad de dar en un punto del
conjunto es nula), y al mismo tiempo el conjunto era incontable, su cardinal
era idéntico al del intervalo [0,1]. El conjunto es una delicia para topólogos: es totalmente disconexo, cerrado y perfecto.
A la función de Cantor se la
suele denominar escalera del diablo
(Devil's Staircase) pues posee un número infinito de escalones. Cada
escalón corresponde a un intervalo eliminado en el proceso iterativo de
construcción del conjunto de Cantor.
También se pueden construir
conjuntos de Cantor planos comenzando con un cuadrado de lado 1,
reemplazándolo por 4 cuadrados de lado 1/2, y continuando
este proceso
indefinidamente
Iteración del conjunto de Cantor.
