En 1890 Giuseppe Peano
(1858-1932) publicó un
artículo titulado “Sur une courbe qui remplit toute une aire plane”, que
fue el preludio de la Curva de Peano,
que dio a conocer en 1891. En año
después en 1892 David Hilbert hizo una variación sobre esta curva que se conoce como la
Curva de Hilbert. Ambas tienen la propiedad notable de “llenar” el plano,
de forma que la curva pasa por cualquier punto de una superficie. Se
demuestra que ambas tienen dimensión topológica igual a 1.
El algoritmo para la construcción de la
curva de Peano es similar al de la curva de Koch cada segmento será remplazado
por otros. En la curva de Peano partimos de un segmento de longitud unidad.
Deducimos 9 nuevos segmentos, cada uno de longitud 1/3,que situamos en la
disposición representada en la figura primera de la secuencia. Comenzando con un
intervalo, este se sustituye por una curva poligonal autointersecante formada
por nueve segmentos iguales. Este proceso se repite en cada uno de estos nueve
segmentos continuando el proceso indefinidamente. El objeto así engendrado es
estrictamente autosemejante, ya que puede obtenerse como reunión de n=9
conjuntos semejantes a Q, reducidos cada uno de ellos en la proporción 1/k=1/3.
Veamos ahora la
dimensión de Hausdorff- Besicovitch para la curva de Peano.
Recordemos que esta dimensión se
representa por la siguiente fórmula:
D = log S / log L
Donde S es
el tamaño del Fractal y L la escala de medición y D es la
dimensión fractal que buscamos. En el caso de la curva de Peano S = 9 y
L= 1/3 y por tanto:
D = log9/log(1/3) = log9/log3 =
2
Vemos que su dimensión
fractal es 2, es decir, tiene la misma dimensión que una superficie plana debido a que
la curva rellena el plano y todos los puntos del plano pertenecen a la curva
de Peano al continuar el proceso hasta el infinito.
Este fractal es una de las excepciones (junto con el triángulo de Sierpindki y
el polvo de Cantor) a la definición de Mandelbrot ya que la dimensión Hausdorff -
Besicovitch excede a la dimensión topológica, que es 1 y además es entera
y no fraccionaria.
La Curva de Hilbert
fue descrita en 1891 por Hilbert
(1862-1943) en un artículo de exactamente dos páginas, poco mas tarde de que
Giuseppe Peano describiese una curva análoga. La curva comienza con un línea
compuesta de 3 segmentos, cada uno de longitud unidad, que conecta los
centros de los cuatro cuadrantes de un cuadrado.
En la etapa siguiente se realizan cuatro copias de la figura primera, reducidas en la
proporción 1/3, y se colocan en los cuadrantes uniendo las copias con tres segmentos de
longitud 1/2.
En la tercera iteración se hacen cuatro copias de la figura segunda, reducidas en la proporción
1/2, se colocan en los cuadrantes como se indica y se unen las copias mediante tres segmentos, ahora de tamaño 1/4. Se observará, que el objeto que resulta no es
estrictamente autosemejante. Si proseguimos indefinidamente la curva
rellenará el plano completamente por tanto la dimensión topológica de la
curva de Hilbert es también 2.
Iteraciones curva de Hilbert
