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Sistemas L 
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La teoría de los Sistemas L data de 1968, y se debe a Aristid Lindenmayer. Originalmente fue introducida en el contexto de los lenguajes formales y utilizada en modelos biológicos del desarrollo de plantas1.

El concepto central de los sistemas L es el de re-escritura, que es una técnica para definir objetos complejos por reemplazamiento sucesivo de partes de un objeto inicial simple, haciendo uso de un conjunto de reglas de reescritura o producción. Un sistema “L” está formalmente constituido por:

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Alfabeto, que es un conjunto de símbolos que sirven para componer cadenas.

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Axioma,  que es la cadena que describe el sistema en su estado inicial.

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Reglas de producción, que son las transformaciones que serán aplicadas al axioma y, sucesivamente, a las cadenas. Las reglas de producción generan cadenas formadas por los símbolos del alfabeto.

Es importante subrayar que las reglas de producción se aplican simultáneamente a todos los símbolos de la cadena de entrada. Esta propiedad refleja el origen biológico de los Sistemas L. Eventualmente se pueden incorporar a la definición del sistema un conjunto de parámetros.

El modo de funcionamiento de un sistema “L” es el siguiente:

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Definición del sistema: se crea un alfabeto, con cuyos símbolos se define un axioma y un sistema de producción en el que se establecen las reglas de sustitución de los símbolos por cadenas de símbolos.

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Se aplican las reglas del axioma, resultando así una cadena de salida.

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Se aplican de nuevo las reglas de producción.

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Se aplican sucesivamente las reglas de producción y operando una reducción de escala a cada iteración se obtiene la aproximación al fractal.

Como ejemplo vamos a generar la Curva de Koch.

 

Definición Sistema L para la Curva de Koch

Alfabeto

F,f,+,-

Axioma

F

Reglas de
producción

F®F+F--F+F
+®+
-®-

Parámetros

f=60º

Asociación a cada símbolo de una instrucción gráfica

(F): avance de una longitud l, con trazado del segmento, desde la antigua posición a la nueva;

(f): avance, como el anterior, sin hacer descender la pluma al papel (no se dibuja el segmento);

(+): giro de la orientación de la pluma hacia la izquierda (sentido contrario al de las agujas de un reloj), un ángulo fijado f=60º.

(-): giro hacia la derecha, en el sentido de las agujas de un reloj.

La longitud l y el ángulo  f deben ser especificados antes de comenzar la interpretación. d tiene un impacto importante en la forma de los resultados gráficos y el valor de l influye en el tamaño final de la imagen.

Iteraciónes aplicando las reglas de producción

Partiendo del axioma F y aplicando las reglas definidas obtendremos:

1ª Etapa: F+F--F+F  2ªEtapa:(F+F--F+F)+(F+F--F+F)--(F+F--F+F)+F+F--F+F)

En las sucesivas etapas llegaríamos a la Curva de  Koch, tal como se puede ver en la figura.

Nótese que el símbolo F a izquierda y derecha en la primera regla representa el trazado de segmentos de longitud l diferente. Podemos suponer que F, a la derecha, es un movimiento l/3. La segunda y tercera reglas indican que los símbolos + y - no se alteran en el proceso de sustitución.

 

 

 

 

 

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1.  Aristid Lindenmayer:“Mathematical Models for Cellular Interactio in Development”, Parts I and II. Journal of Thoretical Biology, 1968. Volver

Una publicación fundamental acerca de Sistemas “L” es un volumen titulado “Lindenmayer Systems, Fractals and Plants”, cuyos autores son Prusinkiewicz y Hanan. La editorial es Springer Verlag y data de 1989.

 

 

 

 

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Copyright © 2004 José Ignacio Argote
Última modificación: 06 de abril de 2013