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En la naturaleza los objetos
fractales suelen aparecer en relación con dos circunstancias o
situaciones: |
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| (1). Frontera, y aquí incluimos todos los
casos en que entran en contacto dos medios humanos, naturales, físicos,
químicos, etc. o dos superficies diferentes: frontera entre países,
riberas de los ríos, litoral, nubes, ... |
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(2). Árbol. Es decir aquellos casos en
que se produce una ramificación con auto similitud: árboles, arbustos, y
plantas, cuencas fluviales con sistemas de río, afluentes, ramblas,
barrancos, riachuelos, etc. |
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Desde los orígenes
de la geometría fractal se ha establecido la relación de los fractales con
la naturaleza. Ya en 1967 Benoit Mandelbrot publicó su famoso artículo: How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-similarity
and Fractional Dimension,(¿Cuánto mide la costa británica? Autosimilitud
estadística y dimensión fraccionaria)1,
basándose en una publicación póstuma del científico británico Lewis F. Richardson 2.
Estos dos trabajos suelen mencionarse casi siempre como introducción para hablar
de los fractales.
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Richardson
en 1961, fue el primero en hacer medidas de este tipo. En el
trabajo concluía que la longitud de una costa no estaba bien definida y proponía
una medida s que expresara la rugosidad. Determinando los siguientes valores para varias costas:
(1) s = - 0,25 para el oeste de la costa de Gran Bretaña una más
rugosas de la tierra.
(2) s = - 0,15 para la frontera de Alemania
(3) s = - 0,14 para la frontera de Portugal con España
(4) s = - 0,13 para la costa australiana
(5) s = - 0,02 para la costa surafricana, una de las más suaves de la
tierra.
(6) s = 0
para curvas muy suaves y círculos.
En el
gráfico de la izquierda se representan en coordenadas (x,y), y en el gráfico
situado debajo de este texto con valores
logarítmicos, los valores de la longitud de la costa británica en función
de de la escala de medida. En el gráfico logarítmico la pendiente de
la curva se corresponde con el valor s= - 0,25
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Mandelbrot fue el
primero en darse cuenta que las pendientes de las rectas presentadas por
Richardson correspondían a la dimensión de Hausdorff de las costas.
Recordemos que:
S = LD
Donde S
es el tamaño del fractal, L la escala de medición D es la
dimensión fractal que buscamos. Operamos para despejar D:
log S = D log L ------->
D = log S / log L
Según esto la
dimensión fractal toma los siguientes valores de D
(1) D = 1,25 para el oeste de la costa de Gran Bretaña.
(2) D = 1,15 para la frontera de Alemania.
(3) D = 1,14 para la frontera de Portugal con España.
(4) D = 1,13 para la costa australiana.
(5) D = 1,02 para la costa surafricana.
(6) D= 1 para curvas muy suaves y círculos.
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Si recurrimos al
modelo simplista de calcular la costa de una isla, que es un círculo de radio uno,
podremos
resolver fácilmente la cuestión. Sabemos que la longitud de una circunferencia
es 2 p, es decir, aproximadamente 6,28.
Pero otro método de llegar al mismo resultado por
aproximaciones sucesivas sería inscribir polígonos de cada vez más lados(3, 4,
5, 6, 7,8, 9....) en el círculo, y acercarnos poco a poco al valor límite que es
la circunferencia real, tal como vemos observando los valores recogidos en
siguiente
tabla:
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Nº de Lados
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3
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4
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8
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16
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32
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64
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Longitud de un lado
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1,732
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1,414
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0,765
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0,390
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0,196
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0,098
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Perímetro
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5,20
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5,66
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6,12
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6,24
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6,27
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6,28
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En los gráficos de la
derecha se representan en coordenadas en el de la izquierda (x= número de lados
,y= perímetro circunferencia) y con valores logarítmicos valores de la longitud
de la circunferencia en el de la derecha. Podemos ver que el valor de la
dimensión Hausdorf es 1, por tanto igual a la dimensión topológica y por tanto
como resulta evidente una circunferencia no es un fractal.
Siguiendo
este mismo el mismo método podremos calcular la dimensión de
la costa de británica o la de cualquier
país, la de cualquier río....
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Algunos ejemplos de fractales en la
naturaleza se ofrecen este enlace. |
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1.
Mandelbrot, B. B., "How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity
and fractional dimension," Science 156 (1967), 636-638.
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2.
Richardson, L., "The problem of contiguity: An appendix of statistics of
deadly quarrels," General Systems Yearbook 6 (1961), 139-187.
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